TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSLASI


Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah suatu transalasi dapat dilambangkan dengan gari berarah misalnya atau vektor (Herynugroho,dkk, 2009:184)

Translasi Titik

Jika Translasi memetakan titik A(x,y) ke titik A' (x',y' ) maka berlaku hubungan :
x' = x + a
y' = y + b
atau A' (x+a,y+b)
Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk:



Contoh Soal :
Tentukan bayangan P(2, 3) oleh Translasi
Jawab :

x' = x + a = 2 + 4 = 6
y' = y + b = 3 + 3 = 6
Jadi, bayangan P(2, 3) oleh translasi adalah P'(6, 6)


TRANSFORMASI GEOMETRI

A. TRANLASI
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

• Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai
• Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai
• Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan maka diperoleh bayangannya . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan Didapat, Perhatikan bahwa
Ini berarti diperoleh dengan mentranslasikan dengan Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai
Oleh karena dan maka
Akibatnya, titik ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan sebagai berikut

Sifat:
• Dua buah translasi berturut-turut diteruskan dengan dapat digantikan dengan translasi tunggal
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.



Contoh:
1. Translasi memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)
a. Tentukan translasi tersebut !
b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut.
c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya!
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?
Jawaban
a.
Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3
2+q = 6 sehingga q = 4
Jadi translasi tersebut adalah
b. translasi artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C'dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)
c.

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)
d. translasi titik



Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.
2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan !
Jawab
Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4
Translasikan titik P dengan sehingga diperoleh
Jadi titik P'(a-5, b+2)
Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.
b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan
Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4
(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4
Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan adalah (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4
B. REFLEKSI
Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.
Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri
Refleksi Rumus Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x


Refleksi terhadap sumbu-y


Refleksi terhadap garis y=x


Refleksi terhadap garis y=-x


Refleksi terhadap garis x=k

Refleksi terhadap garis y=k

Refleksi terhadap titik (p,q)
Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

Refleksi terhadap titik pusat (0,0)


Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α


Refleksi terhadap garis y=x+k


Refleksi terhadap garis y=-x+k



SIFAT-SIFAT
a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
 Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
 Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
 Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
 Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
 Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
C. ROTASI
Rotasi Rumus Matriks
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α


Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α
Keterangan
α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam
α - : arah putaran searah putaran jarum jam
SIFAT-SIFAT
Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
D. DILATASI
Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.
• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Dilatasi Rumus Matriks
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k


Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k



E. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS
Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri
Transformasi Rumus Matriks
Identitas


Translasi


Refleksi terhadap sumbu-x


Refleksi terhadap sumbu-y


Refleksi terhadap garis y=x


Refleksi terhadap garis y=-x


Refleksi terhadap garis x=k

Refleksi terhadap garis y=k

Refleksi terhadap titik (p,q)
Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)


Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α


Refleksi terhadap garis y=x+k


Refleksi terhadap garis y=-x+k


Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α


Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k


Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k




Komposisi transformasi
1. komposisi dua translasi berurutan
Diketahui dua translasi dan . Jika translasi dilanjutkan translasi maka dinotasikan ” ” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).
2. komposisi dua refleksi berurutan
a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu:
x'=2(b-a)+x
y'=y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu:
x'=x
y'=2(b-a)+y
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚
c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.
Catatan
d. sifat komposisi refleksi
Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).
3. rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1
4. komposisi transformasi
Diketahui transformasi maka transformasi tunggal dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2
Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih
Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi !
Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5
P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)
P'(y,x) ditranslasi . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')
Jadi x'' = y +3 → y = x''-3
y'' = x +2 → x = y'' -2
persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5
-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5
x'' - 4y''= 0
jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0



6. luas bangun hasiltranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k2 +L


TENTANG TRANSFORMASI GEOMETRi


Definisi Transformasi Geometri

•Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang.
•Perubahan yang (mungkin) terjadi:
•Kedudukan / letak
•Arah
•Ukuran

Jenis jenis Transformasi

• Pergeseran (Translasi)
• Pencerminan (Refleksi)
• Pemutaran (Rotasi)
• Perkalian bangun (Dilatasi)

1. TRANSLASI(PERGESERAN)

translasi adalah perpindahan suatu semua titik sejauh jarak yang sama dalam satu arah.
translasi merupakan suatu gerak lurus.


2. REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi (atau pemantulan) adalah perubahan arah rambat cahaya ke arah sisi (medium) asalnya, setelah menumbuk antarmuka dua medium.
Refleksi pada era optik geometris dijabarkan dengan hukum refleksi yaitu:
 Sinar insiden, sinar refleksi dan sumbu normal antarmuka ada pada satu bidang yang sama
 Sudut yang dibentuk antara masing-masing sinar insiden dan sinar refleksi terhadap sumbu normal adalah sama besar.
 Jarak tempuh sinar insiden dan sinar refleksi bersifat reversible.
Refleksi spekular
Refleksi spekular (en:specular reflection) dikenal pada era optika fisis sebagai refleksi yang terjadi pada antarmuka yang mengkilap yang merupakan sebab akibat dari hukum refleksi. Refleksi spekular mempunyai beberapa model antara lain model refleksi Phong dan Cook-Torance.


SIFAT-SIFAT
a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
 Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
 Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
 Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
 Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
 Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

3 PEMUTARAN (ROTASI)

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap, misalnya perputaran gasing dan perputaran bumi pada poros/sumbunya. Untuk bumi, rotasi ini terjadi pada garis/poros/sumbu utara-selatan (garis tegak dan sedikit miring ke kanan). Jadi garis utara-selatan bumi tidak berimpit dengan sumbu rotasi bumi, seperti yang terlihat pada "globe bola dunia" yang digunakan dalam pelajaran ilmu bumi/geografi. Kecepatan putaran ini diukur oleh banyaknya putaran per satuan waktu. Misalnya bumi kita berputar 1 putaran per 24 jam. Untuk rotasi mesin yang berputar lebih cepat dari rotasi bumi, kita pakai satuan rotasi per menit (rpm).
Akibat dari gerak rotasi ini, maka benda tersebut akan mengalami gaya sentrifugal, yaitu jenis gaya dalam ilmu fisika yang mengakibatkan benda akan terlempar keluar. Hal ini akan nampak terasa pada saat kita naik mobil yang melewati tikungan melingkar. Pada saat mobil ini bergerak melingkar dengan kecepatan agak tinggi, maka penumpang dalam mobil akan merasa terlempar ke samping (ke sisi luar lingkaran itu) sebagai akibat dari adanya gaya sentrifugal.

SIFAT-SIFAT
. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
a. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

4. DILATASI (PERKALIAN BANGUN)

DILATASI Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran(memperbesar atau memperkecil) suatu bangunan tetapi tidak mengubah bentuk bangunannya.